Deuxièmes journées de l’axe Analyse Multifractale et Applications-Programme

<sub>Coefficients de Fourier de mesures de Furstenberg 1 Étant donnée une mesure de probabilité sur \(\mathbb{R}\) ou sur le cercle \(\mathbb{S}^1\), on peut définir ses coefficients de Fourier. Les propriétés de décroissance de ces coefficients sont liées à la fois à la régularité de la mesure et aux propriétés arithmétiques de son support.

Dans ce mini-cours, je traiterai cette question pour les mesures de Furstenberg. Il s’agit de mesures stationnaires sur le cercle associées à une marche aléatoire sur \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\).</sub>

<sub>Analyse multiéchelle en traitement d’image : de la résolution des problèmes inverses et propriétés d’invariance à l’apprentissage profond. 2 L’objectif de ce cours est de fournir une vision interdisciplinaire des outils d’analyse multi-échelles dans le traitement du signal et de l’image, depuis la modélisation mathématique jusqu’aux applications concrètes.

Comme préliminaires, l’analyse multi-échelle sera introduite formellement dans un cadre général, puis présentée à travers le prisme de la transformée en ondelettes.

Un premier chapitre sera consacré à l’utilisation des décompositions multi-échelles dans le cadre des problèmes inverses pour les tâches de débruitage et de restauration en traitement des signaux et des images.

L’utilisation de schémas multi-échelles pour l’optimisation rapide et efficace en mémoire de fonctions objectives éventuellement non lisses fera l’objet d’un deuxième chapitre.

Le troisième chapitre fournira une présentation approfondie du concept d’invariance d’échelle dans le traitement des signaux et des images, avec des applications à la segmentation des textures. Les outils associés seront illustrés sur des données réelles, ciblant l’analyse de mammographies assistée par ordinateur.

Enfin, le quatrième chapitre présentera une sélection d’algorithmes d’apprentissage automatique apparentés à l’analyse multi-échelle ou reposant sur des quantités multi-échelles.</sub>

<sub>Coefficients de Fourier de mesures de Furstenberg 3 Étant donnée une mesure de probabilité sur \(\mathbb{R}\) ou sur le cercle \(\mathbb{S}^1\), on peut définir ses coefficients de Fourier. Les propriétés de décroissance de ces coefficients sont liées à la fois à la régularité de la mesure et aux propriétés arithmétiques de son support.

Dans ce mini-cours, je traiterai cette question pour les mesures de Furstenberg. Il s’agit de mesures stationnaires sur le cercle associées à une marche aléatoire sur \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\).</sub>

_{Analyse multiéchelle en traitement en traitement d’image: de la résolution des problèmes inverses et propriétés d’invariance à l’apprentissage profond. 3 L’objectif de ce cours est de fournir une vision interdisciplinaire des outils d’analyse multi-échelles dans le traitement du signal et de l’image, depuis la modélisation mathématique jusqu’aux applications concrètes.
Comme préliminaires, l’analyse multi-échelle sera introduite formellement dans un cadre général, puis présentée à travers le prisme de la transformée en ondelettes.
Un premier chapitre sera consacré à l’utilisation des décompositions multi-échelles dans le cadre des problèmes inverses pour les tâches de débruitage et de restauration en traitement des signaux et des images.
L’utilisation de schémas multi-échelles pour l’optimisation rapide et efficace en mémoire de fonctions objectives éventuellement non lisses fera l’objet d’un deuxième chapitre.
Le troisième chapitre fournira une présentation approfondie du concept d’invariance d’échelle dans le traitement des signaux et des images, avec des applications à la segmentation des textures. Les outils associés seront illustrés sur des données réelles, ciblant l’analyse de mammographies assistée par ordinateur.
Enfin, le quatrième chapitre présentera une sélection d’algorithmes d’apprentissage automatique apparentés à l’analyse multi-échelle ou reposant sur des quantités multi-échelles.}

_{Dimensions of orthogonal projections of typical self-affine sets and measures An important problem in fractal geometry and dynamical systems is understanding the geometric properties of orthogonal projections of dynamical-driven sets and measures along specific directions. In this talk, I will present some dimensional results on the orthogonal projections of typical self-affine sets and measures. This work is based on joint research with Yu-Hao Xie.}

_{Multivariate multifractal analysis of Lévy functions related to β-expansions Let \(\beta > 1\). We denote by \(T_\beta\) the \(\beta\)-transformation on the interval \([0,1]\). For \(\alpha > 0\), we define the Lévy function associated with \(T_\beta\) by \(L_{\alpha}^{\beta}(x)=\sum\limits _{j=1}^{\infty}\frac{T_{\beta}^jx}{\beta^{\alpha j}}\). We also define the translated Lévy function associated with \(T_\beta\) by \(L_{\alpha}^{\beta,y}(x)=\sum\limits _{j=1}^{\infty}\frac{T_{\beta}^j(x-y)}{\beta^{\alpha j}}\) where \(y\in [0,1]\) is a given parameter. Given \(\alpha_1, \alpha_2 > 0\), we determine the bivariate multifractal spectrum \(\mathcal{D}_{L_{\alpha_1}^{\beta},L_{\alpha_2}^{\beta,y}}\), that is, the Hausdorff dimension of the level sets of points with given Hölder exponents for \(L_{\alpha_1}^{\beta}\) and \(L_{\alpha_2}^{\beta,y}\).}

_{Estimateurs statistiques des paramètres du processus stable multifractionnaire harmonisable Le Processus Multifractionnaire Stable Harmonisable (PMSH) Z a été introduit indépendamment dans deux articles, Dozzi et Shevchenko, SPA, 2011, et Biermé, Lacaux et Scheffler, SPA, 2011. Ces auteurs se sont notamment intéressés à l’étude de ses comportements, global et local; des résultats optimaux ont été obtenus plus récemment dans notre article Ayache, Louckx, SPA, 2025. Ce processus non gaussien à trajectoires continues Z est défini par une intégrale stochastique stable dans le domaine fréquentiel; il dépend d’un paramètre α ∈]0, 2[ et d’un paramètre fonctionnel \(H :\mathbb{R}\to ]0, 1[\) appelé la fonction de Hurst. Il est important de construire des estimateurs statistiques pour ces deux paramètres. Le paramètre \(\alpha\) permet de contrôler l’épaisseur des queues des lois marginales de Z, alors que le paramètre \(H\) permet de prescrire la régularité de Hölder ponctuelle de Z en tous points, comme c’est le cas de la plupart des autres processus multifractionnaires, gaussiens comme non gaussiens. L’estimation statistique de la fonction de Hurst des processus multifractionnaires suscite de l’intérêt depuis longtemps. De nombreux articles ont été publiés dans ce domaine. Cependant, leurs stratégies et outils sont difficilement transposables dans le cadre non gaussien et non ergodique du PMSH. Dans cet exposé, en s’inspirant du très récent article Ayache, EJS, 2024 qui s’intéresse à l’inférence statistique pour le Processus Fractionnaire Stable Harmonisable (PFSH), nous vous présenterons la construction des estimateurs fortement consistants et asymptotiquement normaux pour le paramètre de stabilité α\(\alpha\) du PMSH et pour la valeur de sa fonction de Hurst en chaque point.}

_{Approximation diophantienne par des orbites de systèmes dynamiques ergodiques linéaires. L’approximation diophantienne consistait à l’origine à étudier la taille de l’ensemble des réels approchables à une certaine vitesse par des nombres rationnels. Des questions similaires sont aussi très naturelles dans des cadres aléatoires et dynamiques. Dans cet exposé, on présentera un certain nombre de résultats généraux concernant l’approximation de points de \(\mathbb{R}^d\) par des orbites de systèmes ergodiques mélangeants. Les résultats que nous présenterons étendront en particulier des théorèmes établis par Fan-Schmeling-Troubetzkoy dans le cas du doublement de l’angle et par Liao-Seuret concernant les fonctions markoviennes répulsives. Cet exposé est basé sur arXiv:2502.13051.}

_{Analyse multifractale basée sur l’exposant d’échelle faible et applications aux signaux MEG en neurosciences. L’analyse multifractale classique, fondée sur l’exposant ponctuel de Hölder ou sur les \(p\)-exposants, exige que le signal appartienne à \(𝐿^\infty\) ou \(L^p\). Or, les signaux MEG révèlent fréquemment un exposant global \(H_{min}<0\), ne permettant pas une approche avec les leaders ou \(p\)-leaders sans intégration fractionnaire. Nous proposons de contourner cette contrainte grâce à l’exposant d’échelle faible (Weak-Scaling Exponent), parfaitement adapté aux distributions tempérées. Après avoir défini de nouvelles quantités multi-échelles \((\theta,\omega)\)-leaders et box-leaders, nous établissons des lois d’échelle fiables et mettons au point une procédure d’estimation numérique efficace. La méthode est d’abord validée sur des bruits gaussiens fractionnaires, des marches aléatoires multifractales et des cascades binomiales d’ondelettes, puis appliquée à un jeu de 306 canaux MEG. Elle met en évidence des spectres multifractaux riches sans recourir à l’intégration, ouvrant la voie à de possibles cartographies topographiques de l’irregularité cérébrale. L’ensemble des développements est implémenté dans les toolbox Matlab et Python mises librement à disposition des communautés signal et neurosciences.}

_{Hölder spaces for Lie groups and application to the 2-sphere We introduce a dyadic decomposition of the wavelet transform type for compact Lie groups, allowing the study of Hölder regularity. We then adapt local and global Hölder spaces to the sphere \(S^2\) in Euclidean space \(\mathbb{R}^3\), while providing the tools to effectively examine the Hölder regularity for a function defined on the sphere.}

_{Autosimilarité multivariée L’autosimilarité a été massivement utilisée pour modéliser les propriétés d’invariance d’échelle de signaux réels, issus de nombreuses applications du monde réel, de nature très diverse. Cependant, pendant longtemps, la modélisation et l’analyse de l’autosimilarité sont restées univariées (un seul signal à la fois), du fait du manque de modèle mutivariée et des outils d’estimtions associées. Cependant, les applications les plus récentes reposent souvent sur la mesure de plusieurs (parfois) beaucouo de signaux conjointement pour l’analyse d’un même système, impliquant le besoin d’une analyse multivariée de l’autosimilarité. Cet exposé décrit une version simplifiée d’un modèle de processus gaussiens multivariés conjointement autosimilaires. Il propose aussi un outil d’analyse qui permet d’estimer conjointement une collection de paramètres d’autosimilarités à partir d’une observation multivariée de séries temporelles, reposant sur le comportement à travers les échelles des valeurs propores des matrices de covariance des coefficients d’ondelettes.}

_{Analyse multiéchelle en traitement en traitement d’image: de la résolution des problèmes inverses et propriétés d’invariance à l’apprentissage profond. 1 L’objectif de ce cours est de fournir une vision interdisciplinaire des outils d’analyse multi-échelles dans le traitement du signal et de l’image, depuis la modélisation mathématique jusqu’aux applications concrètes.
Comme préliminaires, l’analyse multi-échelle sera introduite formellement dans un cadre général, puis présentée à travers le prisme de la transformée en ondelettes.
Un premier chapitre sera consacré à l’utilisation des décompositions multi-échelles dans le cadre des problèmes inverses pour les tâches de débruitage et de restauration en traitement des signaux et des images.
L’utilisation de schémas multi-échelles pour l’optimisation rapide et efficace en mémoire de fonctions objectives éventuellement non lisses fera l’objet d’un deuxième chapitre.
Le troisième chapitre fournira une présentation approfondie du concept d’invariance d’échelle dans le traitement des signaux et des images, avec des applications à la segmentation des textures. Les outils associés seront illustrés sur des données réelles, ciblant l’analyse de mammographies assistée par ordinateur.
Enfin, le quatrième chapitre présentera une sélection d’algorithmes d’apprentissage automatique apparentés à l’analyse multi-échelle ou reposant sur des quantités multi-échelles.}

<sub>Coefficients de Fourier de mesures de Furstenberg 2 Étant donnée une mesure de probabilité sur \(\mathbb{R}\) ou sur le cercle \(\mathbb{S}^1\), on peut définir ses coefficients de Fourier. Les propriétés de décroissance de ces coefficients sont liées à la fois à la régularité de la mesure et aux propriétés arithmétiques de son support.

Dans ce mini-cours, je traiterai cette question pour les mesures de Furstenberg. Il s’agit de mesures stationnaires sur le cercle associées à une marche aléatoire sur \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\).</sub>

 _{Approximation diophantienne et principe de transfert de masse : intégration du cadre non borné Étant donné un nombre réel positif \(t>0\), nous calculons la dimension de Hausdorff de l’ensemble des couples \((x,y)\) dans le carré unité tels que les inégalités \(∣qx−p_1∣0\). Cette étude généralise l’approximation diophantienne simultanée classique en remplaçant la vitesse d’approximation \(q^{−v}\) \((v>0)\) pour la seconde coordonnée \(y\) par la vitesse exponentielle \(e^{−q}\). La borne supérieure se déduit facilement des résultats existants. Pour la borne inférieure, nous devons adapter le principe de transfert de masse de Wang et Wu (Math. Ann 2021) afin d’intégrer le cadre non borné. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bing Li, Baowei Wang, Sanju Velani et Evgeniy Zorin.}

 _{Dimensions d’ensembles auto-affines en loi. Résumé: Nous aborderons quelques développements récents de la théorie dimensionnelle des ensembles auto-affines ou auto-affines en loi dans \(\mathbb{R}^d\), et en particulier le rôle qu’y jouent les cascades multiplicatives inhomogènes sur certaines éponges auto-affines à partir de la dimension 3. Il s’agit d’un travail en collaboration avec G. Brunet.}

 _{Prévalence des spectres de fonctions de Besov inhomogènes Le but de ce travail est d’aborder une version généralisée de l’espace de Sobolev-Slobodeckij dans un environnement inhomogène dicté par des capacités presque doublantes et leur liens avec les espaces de Besov. La régularité presque-sure (au sens de la généricité de Baire et au sens de la prévalence) et le spectre multifractale de fonctions dans ses espaces seront étudiés.}

 _{Hölder Regularity and Fractal Aspects of the Thomae Function The Thomae function has long served as a striking example in real analysis, showcasing the interplay between continuity and discontinuity. Introduced by Thomae in 1875 as a refinement of the Dirichlet function, it is defined as follows. Unless explicitly stated otherwise, any rational number \(x\) expressed as \(x=p/q\) (\(p\in \mathbb{Z}\), \(q\in \mathbb{N}\)) with \(p\) and \(q\) coprime. Let then \(\displaystyle T_\theta\) be given by \(\displaystyle T_\theta (x) = 1\), if \(x=0\), \(\displaystyle T_\theta (x) = q^{-\theta}\), if \(x\) is rational with \(x=p/q\) and \(\displaystyle T_\theta (x) = 0\), if \(x\) is irrational. The Thomae function is \(T_1\). The limiting case \(\theta=0\) corresponds to the Dirichlet function. This talk focuses on the Hölder regularity of the Thomae function, a key aspect of its behaviour. First, we review its fundamental properties, offering a detailed account of its defining characteristics and self-similar nature. Then, we analyze the function’s Hölder regularity, uncovering insights into its fractal-like properties through contemporary mathematical tools. By bridging its classical foundations with these contemporary perspectives, we aim to highlight both the theoretical elegance and the deeper structural nuances of this remarkable function.}

 _{Intégrale de Cauchy, espaces de Sobolev fractionnaires et domaines Lipschitziens. En 1982 Coifman, McIntosh et Meyer ont prouvé que l’intégrale de Cauchy définit un opérateur borné sur L² pour les courbes lipschitziennes. Nous étudions l’analogue de ce résultat pour les espaces de Sobolev fractionnaires, dans des domaines non nécessairement rectifiables du plan.}

  _{A Note on Laguerre’s Bound for the roots of orthogonal Polynomials » Résumé: Il s’agit d’un raffinement d’une note aux Comptes Rendus, datant de 1880, d’Edmond Laguerre. On donnera quelques calculs explicites sur les polynômes de Hermite.}